Блог пользователя lin7xu

I have a math problem
Автор lin7xu, история, 2 года назад, По-английски

How to calculate the coefficient of $$$\prod\limits_{i=0}^{p-1}(x+i) \bmod p$$$ ($$$p$$$ is a prime)? Thank you for reply.

  • Проголосовать: нравится
  • +8
  • Проголосовать: не нравится

»
2 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +10 Проголосовать: не нравится

It is also the first kind of Stirling number.

→ Ответить
»
2 года назад, # |
  Проголосовать: нравится 0 Проголосовать: не нравится

which coefficient r u interested in?

→ Ответить
»
2 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +4 Проголосовать: не нравится

In fact the answer is very beautiful, but sadly no one mentioned it.. It equals to $$$x^p-x$$$. I don't know why, can anyone explain it?

→ Ответить
  • »
    »
    2 года назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится +21 Проголосовать: не нравится

    From Fermat's theory we know that $$$x^p \equiv x\pmod p$$$ holds for every integer. So when modulo $$$p$$$, $$$F(x)=x^p-x$$$ must be a multiple of $$$x,x+1,…,x+(p-1)$$$ at the same time. Pay attention to the fact that $$$F$$$ is of degree $$$p$$$, and the given equation is proved.

    → Ответить
»
2 года назад, # |
  Проголосовать: нравится +2 Проголосовать: не нравится

Now, I'm not a math genius or anything.

However, I do know that when multiplying a list of X consecutive numbers, the result is always divisible by X. Therefore, the answer to your question is 0, because the result is always divisible by P, even if P is a prime.

→ Ответить
  • »
    »
    2 года назад, # ^ |
      Проголосовать: нравится +9 Проголосовать: не нравится

    I want to calculate the coefficient for every $$$x^i$$$, and the answer is $$$x^p-x$$$, that there is only two nonempty positions.

    → Ответить