Совсем просто же:

for (e : g[v]) {
	if (dist[v] + e.w < dist[e.to]) {
		dist[e.to] = dist[v] + e.w;
		paths[e.to] = paths[v];
	} else if (dist[v] + e.w == dist[e.to]) {
		paths[e.to] += paths[v];
	}
}

Стоит помнить, что при наличии ребер с нулевым весом количество кратчайших путей до некоторых вершин может быть бесконечным.

А можно ли посчитать количество с помощью Флойда-Уоршелла?