Решето эратосфена, почитайте алгоритм.

Судя по ограничениям, Pollard-rho вполне зайдет. Будет что-то в духе $$$O(N a^{1/4} \log(a))$$$, где $$$a = \max\limits_{i \in [1,N]\cap \mathbb N} a_i$$$ (оценка скорее всего неверна, но достаточно хороша для представления о времени работы алгоритма). В коде это будет как-то так: https://pastebin.com/j4giMndL (реализация функция is_prime_miller_rabin, pollard и factor_integer не моя, а kactl'овская). Для скорости я бы еще [вырезано цензурой] добавил прагм и более быстрый ввод-вывод, но мне лень, а для демонстрации этого не нужно.

Если говорить об алгоритме факторизации чисел за $$$O(\log n)$$$, то эта будет сложность на запрос. Там еще пред-подсчет есть, который (в простейшем случае) можно иметь оценку $$$O(n \log \log n)$$$ по времени. Более подробно: https://www.geeksforgeeks.org/prime-factorization-using-sieve-olog-n-multiple-queries/. Можно, конечно, сделать этот пред-подсчет более быстрым, например, за $$$O(n)$$$ (см. https://cp-algorithms.com/algebra/prime-sieve-linear.html), но мне было бы лень.