1)
На множестве натуральных чисел задано функцию :
F(1) = 2(1/3), F(n+1) =2(F(n)/3).
Доказать, что для любого a : 0 < a < 1 существует натуральное k, для которого выполняется условие :
| F(k+1) - F(k) | < a.
2) Найти все функции F: R -> R
для произвольных x,y выполняется равенство
F ( x2 + y) = F (x) + F(y2).
3)
Найти функцию F(x) такую, что F(x) + F(1/(1-x)) = x.
4)
Найти все функции F: R -> R, которые удовлетворяют равенству :
F(x+y) + F(x-y) = 2x2 + 2y2
2) При у=0 имеем f(x2)=f(0)+f(x)=f(x).
Сделаем замену t=x2 тогда f(t+y)=f(y2)+f(sqrt(t))=f(t)+f(y2)=f(t)+f(y)
Получили функцию коши f(t+y)=f(t)+f(y) которая при условии неприрывности имеет степень 1, дальше легко найти ответ.
Рассмотрим эту функцию без ограничения на неприрывность :
F(-x)=f(sqr(-x))=f(sqr(x))=f(x) значит f – четная.
Положим х=-у тогда f(0)=f(y)+f(-y)=2f(y)=0.
Получили что f(x)=0 при всех х.
Я может чего не понимаю, но почему при y=0 у Вас получилось, что f(0)=0?
Потому что при x=0 и y=0 имеем, что f(02+0)=f(0)+f(0) => f(0)=2*f(0) => f(0)=0.Сорри,туплю
4)
F(0)=0
Сделаем замену : U=x+y
V=x-y
2x2+2y2=2x2-2y2+4y2= 2*U*V+4y2
Положим V=0
F(U)=4y2
Если V=0, то x=y
Значит F(U)=F(2y)=4y2
Положим X=2y, тогда F(x) = x2