279A - Point on Spiral

Из-за небольших ограничений в данной задаче можно было просто промоделировать шаги коня. Удобнее всего это делать, храня текущее направление движения и счетчик со значением, сколько шагов в эту сторону осталось. Заметим, что конь движется по спирали по следующему шаблону: 1 шаг вперед, поворот, 1 шаг вперед, поворот, 2 шага, поворот, 2 шага, поворот, 3 шага, поворот, 3 шага, поворот, 4 шага и так далее.

279B - Books

При решении этой задачи проще всего было воспользоваться методом двух указателей: левый указатель означает начало отрезка, правый — конец. При передвижении левого указателя на единицу вправо, правый надо двигать до тех пор, пока сумма a_i внутри отрезка меньше или равна t. Так мы сможем для каждого левого конца найти максимально удаленный правый, а ответ на задачу — это максимальная длина из этих отрезков.

279C - Ladder

Давайте перед выполнением запросов выпишем в массив down отдельно все позиции i, для которых a_i > a_i + 1, и в массив up такие позиции i, такие что a_i < a_i + 1.

Теперь заметим важный факт для решения: отрезок [l, r] является лесенкой тогда, когда все позиции i, где a_i < a_i + 1 левее всех позиций j, в которых a_j > a_j + 1 (l ≤ i, j < r).

Для того, чтобы проверить это условие, давайте воспользуемся массивами up и down, в них с помощью бинарного поиска можно надо найти наибольший индекс i в отрезке, где происходит возрастание, и наименьший индекс j в отрезке, где происходит убывание, и если i < j, то отрезок — это лесенка. Отдельно необходимо рассмотреть случаи, когда числа в отрезке образуют невозрастающую или неубывающую последовательность.

279D - The Minimum Number of Variables

Давайте решать задачу методом динамического программирования по бинарной маске. Пусть текущее состояние — это mask. Через count(mask) обозначим количество единичных битов в маске, а через b₁, b₂, ..., b_count(mask) их индексы (здесь и далее будем использовать 0-нумерацию).

Наше состояние означает, что в данный момент у нас имеется count(mask) переменных, которые равны a_b1, a_b2, ..., a_bcount(mask). Будем считать, что дойдя до такого состояния, мы уже сумели произвести count(mask) операций, а значит, сейчас нам надо получить x = a_{bcount(mask) + 1}.

Если это число x не представимо в виде x = b_i + b_j, то тогда точно следующее значение мы получить не можем, и это состояние тупиковое, а иначе даже неважно какие именно значения i, j мы возьмем, главное — убедиться, что такие существуют.

Итак, мы получаем число x на текущей операции. Теперь важно понять, куда мы можем его записать: а именно мы либо записываем в какую-либо из уже использованных переменных (старое значение стирается), либо в новую переменную (это будет стоить нам 1).

В терминах масок первая операция выглядит как выкидывание одного из битов b_k, и добавление нового бита, а вторая — просто добавление нового бита.

Начальное состояние в нашей динамике — это mask = 1, конечное — любая маска, в которой есть единичный бит на позиции n - 1 (в 0-нумерации).

При аккуратной реализации такое решение будет работать за O(2ⁿ·n). В частности, следующий хитрый прием поможет добиться этого: когда нам требуется проверить, что в маске есть такие два бита b_i и b_j, что a_count(mask) = a_bi + a_bj, то будем использовать предподсчитанный массив diff[q][p], в котором будет записан индекс такого элемента массива a, который равен разности a_q–a_p.

Это позволит нам при проверке перебирать лишь значение b_i.

279E - Beautiful Decomposition

Будет опубликовано чуть позже…