Алиса недавно нашла несколько кактусов, растущих рядом с ее домом! Спустя несколько месяцев, все больше и больше кактусов стало появляться и вскоре они заблокировали всю дорогу. Поэтому Алиса хочет уничтожить их.

Кактус это связный неориентированный граф. Никакое ребро такого графа не принадлежит более, чем одному простому циклу. Простым циклом будем называть последовательность различных вершин $$$x_1, x_2, \ldots, x_k$$$ графа, такую что $$$k \geq 3$$$ и пары вершин $$$x_1$$$ и $$$x_2$$$, $$$x_2$$$ и $$$x_3$$$, $$$\ldots$$$, $$$x_{k-1}$$$ и $$$x_k$$$, $$$x_k$$$ и $$$x_1$$$ соединены ребром. Ребра $$$(x_1, x_2)$$$, $$$(x_2, x_3)$$$, $$$\ldots$$$, $$$(x_{k-1}, x_k)$$$, $$$(x_k, x_1)$$$ называются принадлежащими этому циклу.

Количество кактусов очень большое, поэтому уничтожить их будет тяжело. Но Алиса обладает магией. Когда она использует магию, каждая вершина кактуса удаляется независимо от других с вероятностью $$$\frac{1}{2}$$$. Когда вершина удаляется, все ребра, соседние с этой вершиной также удаляются.

Алиса хочет протестировать свою магию. Она выбрала кактус с $$$n$$$ вершинами и $$$m$$$ ребрами. Обозначим за $$$X[S]$$$ (где $$$S$$$ это подмножество удаленных вершин) количество компонент связности в оставшемся графе после удаления вершин множества $$$S$$$. Перед тем, как использовать магию, она хочет узнать дисперсию случайной величины $$$X$$$, если все вершины графа имеют вероятность $$$\frac{1}{2}$$$ быть удаленными и все эти $$$n$$$ событий независимы. По определению дисперсия равна $$$E[(X - E[X])^2]$$$, где $$$E[X]$$$ это математическое ожидание случайной величины $$$X$$$. Помогите ей и посчитайте это число по модулю $$$10^9+7$$$.

Формально, обозначим за $$$M = 10^9 + 7$$$ (простое число). Можно показать, что ответ может быть представлен в виде несократимой дроби $$$\frac{p}{q}$$$, где $$$p$$$ и $$$q$$$ это целые числа и $$$q \not \equiv 0 \pmod{M}$$$. Выведите целое число, равное $$$p \cdot q^{-1} \bmod M$$$. Другими словами, найдите такое целое число $$$x$$$, что $$$0 \le x < M$$$ и $$$x \cdot q \equiv p \pmod{M}$$$.