Определение и элементарные свойства
Опр. Пусть $$$p > 2$$$ простое число, тогда квадратичным вычетом по модулю $$$p$$$ назовём все $$$1 \le x \le p - 1$$$, такие, что уравнение $$$a^2 \equiv x \pmod{p}$$$ имеет решения и квадратичным невычетом иначе. Обратите внимание, что $$$0$$$ не является ни квадратичным вычетом, ни квадратичным невычетом.
Теорема: Квадратичных вычетов и крадратичных невычетов поровну.
Теорема: Обозначим за $$$B$$$ квадратичный вычет, а за $$$H$$$ квадратичный невычет, тогда:
С помощью этих двух теорем уже можно решить 103428K - Tiny Stars.
Как проверить, число вычет или невычет?
Есть несколько способов проветь является ли число квадратичным вычетом. В этом блоге мы рассмотрим только один из них, вы можете почитать про лемму Гаусса и квадратичный закон взаимности.
Критерий Эйлера
$$$a$$$ является квадратичным вычетом по модулю $$$p$$$ тогда и только тогда, когда $$$a^{\frac{p - 1}{2}} \equiv 1 \pmod{p}$$$, и квадратичным невычетом тогда и только тогда, когда $$$a^{\frac{p - 1}{2}} \equiv -1 \pmod{p}$$$.
Следствие: $$$-1$$$ является квадратичным вычетом тогда и только тогда, когда $$$p = 4k + 1$$$, для какого-то натурального $$$k$$$, и квадратичным невычетом тогда и только тогда, когда $$$p = 4k + 3$$$, для какого-то натурального $$$k$$$.
Очевидно, что сложность проверки числа $$$O(\log_2p)$$$.