ПОЛНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА Студ. ЛЕЩИНСКИЙ А. С Белорусский национальный технический университет История великой теоремы Ферма началась в 1637 г., когда французский математик Пьер Ферма (1601... 1665) сформулировал теорему, согласно которой при натуральном и > 2 уравнение У +у" = г" не имеет решений в целых положительных числах X, у , Z. Для полного доказательства достаточно доказать две теоремы. Теорема 1.0. кг Ф 0 modp, где кг — второй множитель числа классов идеалов кругового поля QiCp)', р — простое нечетное число. Теорема 2.0. Для простого показателя р > 5 справедлив второй случай теоремы Ферма, если кг Ф о modp. Первый случай теоремы Ферма при кгФО т о ф был доказан Вандивером. В дальнейшем будем использовать обозначение ^ = 2я. Теорема 2.1. Уравнение У + / = ел'^У, где X, у , Z, 8 6 Z[^ + 8 — единица кольца, целое и > 1, простоер ^ 5, п = (I — Q(1 — не имеет решений в ненулевых х, у, z. □ Пусть уравнение имеет решение в ненулевых д:, у , Z. Вестник БИТУ, № 4,2005 57 Естественные и точные науки Из всех этих решений выберем такое, у которого ы , модуль нормы элемента z, принимает минимальное значение =(х”+ у ’) = (х+у)П (х^+Ў +x)<s+c)), 1=1 где т = {р- 1)/2. Так как кольцо Z(^ + ę^) допускает теорию дивизоров с числом классов, равным кг, имеем: (jc+yf = + / + ду(С + Ó ) = (n)K^9i,-, / = 1 , m, где К — наибольший общий делитель главных дивизоров (х) и (у), который не делится на (я). Так как 91о, 91,- взаимно просты, то: (х^ +у^ + 2 ху) = { n f — ; ( х Н / + лу(С + 0 ) = (я)К'ЗГ, гдe9lo = Зo^9^,• = З f. После перекрестного умножения этих уравнений имеем (х^ + / + 2ду) 3 f = = (х^ + / + лу(С + ’>^3^'’. Умножим уравнение на дивизор 3^, такой что З^^З^ = m l ” = (у)^. Так как Лг ^ О т о ф , то дивизоры 3^ 3f = (а,)^ — главные, тогда (х^ + / + 2 х у ) ( а / = = (х^ + / + ху(с!+ ó yn f^ -^ ^ yY - Так как все дивизоры в уравнении главные, для 1 = 1,2 имеем: бі(х^ + Ў + 2 ху) а ” = = (х^ + / + ху(^ + — ’V ; СгСх^ + + 2ху) a f = = (х Ч / + ду((;Ч С V , где El и 62 — единицы кольца Z[^ + ę \ После элементарных преобразований из последних двух уравнений с учетом равенства е,(х^ + / -ь 2 л у К — + / + 2хуУрУ”-^”у” + 2 х у )а .^ — (х^ + у ^ + 2хуУ пУ "''^”у ” ду(С + С'^-2У^"~'>^у'’ получаем 6i o f + 662 = (1 + '^у'’, (1 -0 (1 -;-» ) где 6 = ,. ^ — единица. (l_;2)(ę-2_i) Так как бз = е,"» 662 — единица, а» = (1 + е) ejT» - единица, тогда оу +бз a f = б4Я^^ - Пусть a f S f т о ф , oĄ s q т о ф , t + £зд = О mod рмгз = г т о ф , где t, q, г е Z. Но если верно последнее сравнение, то 63 = ef (доказательство этого факта будет приведено ниже). Тогда 0(’ + Рі^=84Я^^-»У, где Pi = esOizВ итоге получим уравнение xf + у” = e4T^”z{’, где а , = хь Pi = уь у = Zb 2л — 1 = иь Теперь докажем, что І№І <>• lAfeJ : Щ х^+У + 2 л у )|(2 + С + С )) = = Щя)^^'-‘>^’ к^з^^1(1 + С)(1 + Ó ); Щх^ + / +ДУ(С' + о ')) = М (Я)К'3? ); k ((x ^ + / + 2x y )i( 2< + Ó ) | = = (х^ + /)(2 + С + С )+^ лу(2 + С + С')) I < < ІУ(х^+/+лу(С + Г))1. Это неравенство верно, поскольку для любых вещественных х и у и для любого i 58 Вестник БИТУ, Nb 4,2005 Естественные и точные науки ||(х ^+ /)(2 + С + С ')+ |лу(2 + С + 0 1 < <1х^+/+^9<С + Г)1- Значит, I (2 + С + Ó )i < к((я)Х '3? ^ , так как 7У/(л) = /7, то Так как и ^ 1, то I 1<| iV3f | и N 311 < I N3f I. Следовательно, т I Nz И| 1 Y l\ iV5, l^niiV S, I > I Л^о II 1; 1=0 1=0 \JNz\ > |iV3o||A^2i(, значит, jA/z|>|Afei|. Пришли к противоречию, так как |Л(г| выбирали минимальным. ■ Из теоремы 2.1. следует теорема 2.0. Единицы вида ± С П (1 -а 'С Г , /=1 т где л = 2 ]« , =0> а = о, 1........р — 1, = 1=1 g*=g^m odp, 1 < g i< p -l,A : = 0 , 1, где g — первообразный корень по модулю р, образуют подгруппу группы всех единиц кольца Z[Q и называются специальными [1]. Фактор-группа единиц кольца по подгруппе специальных единиц имеет порядок hi. Теорема 1.1. Любая специальная единица, для которой существует такое целое число с, что e s c modp, является р-й степенью некоторой, тоже специальной единицы г. □ По условию теоремы имеем: іС П О -а 'О " ' н стойр-, т + с ^ П (1 -о ^ ^ '0 " ' а с m odp. Пусть g — первообразный корень по модулю р такой, что g'^’ S 1 mod р^. Тождество m / 1 1 — а ‘С j верно при s = 1, 2 ,.. .,р — 2. Так как alm odp П 1=1 V 1-а'С I ’ то т ( « / 1 _J+»> 1-<Г Ц Ш I -О'; +,>N"<-"7 s ± l m odp, 7 = 1, ...,т. Из последнего следует, что существуют многочлены, удовлетворяюпдае равенству т П 1 _ Х ^ - \щ-п. 1=1 ч = ±\ + pF,s{X) + i^X)F^(X), где F^si^) = RxsiX) RisiX) , Fi^X) — отношение 1=1 многочленов с целыми коэффициентами; ф(Х) = + Х /’- Ч ... + ЛГ +1. Берем логарифмическую производную от обеих частей равенства и умножаем ее на X. Далее подставляем вместо X = ę и вводим многочлен £(Х) т £ ( X ) = £ (« ,-n ,.)(g X )'. 1=1 После этих преобразований получаем равенство по модулю р Вестник БИТУ, №4, 2005 59 Естественные и точные науки то (а(я, — l ) + <^n^) + feo■ ^ 2s(^) — единица. Пусть a{g, -1 ) + </и, = -6,тогда 6 + (g,CT* -1)х ш ( а ) С = ę + g , e + — + g p — 2 > ^ " " ^ , 6 * 6 Z . Так как ^ = gs mod р, 6 + (g V — l) £ ( a ) ^ ^ j s ^)^®(ст>; mod/?; bp + (g V — s b,pxn(oy; m o d /; bp + (g V — l)J?(a)iD(aX = 6,ptn(aX mod/ . Для любого многочлена К(Х) верно а д С і г K(g^~% mod / , где С, = ę + gai; + g^aX +... + g^'^o^'^i; . Значит, 6 p to (g )+ (g V -l)£ (a M o )ę , s6,/?tn(CT)ę, m o d /; o>(g) = l + ^ + — + ^ '’"^ sO m o d /; (g ^ -‘> -l)£ (g ^ -W '')C . ^6,/?tn(g'’-^ K ,m od/; g*0>-» = l modp^ 0 mod/», следовательно, b^sO mod p п р и 5 = 1 , 2 , ...,p -2 . Таким образом. ( g ,a ^ — l № ) -bp m o d /, 1 ^ — 1 . (g,o* -1>&(о)ш(ст>; S -bp modp^ (g,a* — 1)£(ст)ш(«У)Сі = -6/?w(g) m o d /; _ i)£(g^-X g^"^)C , = -bpaig ) m o d / . Так как J]n ,.= 0, то £ ’(g^'^)s-Wymmod/?, j=i после умножения на g^ (gs-g')njf»^(g''^y^i = 0 m o d / при5 = 0 , 1, ...,p- 2 . ^ ( g s — g>;W®(g^"^Ki = 0 m o d /, 5 -0 ^ g " = 0 m o d /, j=0 5 ^ * ® m o d /, s=0 следовательно, nj= 0 mod p, гдеу = 1,2,..., m,a- 0 . Пусть r,=-j-, тогда ii = ±n(l-cj'Q'^' и P ,=i 8 = Tj^ . ■ Следствие 1. Если верна теорема 1.1, то любая единица е такая, что s = cmodp, является р-й степенью некоторой единицы. □ Действительно, е*^ — специальная, по теореме 1.1, е** =т|^. І1 2 Ф О тодр, следовательно, существуют такие целые числа v и ц, что A2V +/п) = 1. е = = (/е " )^ . ■ Следствие 2. Если верна теорема 1.1, то верна теорема 1 .0 . Допусти А2 S О т о ф , тогда по теореме Коши в фактор-группе группы единиц по подгруппе специальных единиц существует элемент порядка р, и, значит, в группе единиц существует неспециальная единица е, для которой единица е'' — специальная. d" S с modp, поэтому в силу теоремы 1.1 в кольце Z[Q существует такая специальная еди60 Вестник БИТУ, № 4,2005 Естественные и точные науки ница т], что = т]'’ и ет|“‘ = ę для некоторого а. Следовательно, вопреки предположению, единица е = ^‘’т| — специальная. Приходим к противоречию. ■ Для полноты следует отметить, что я располагаю собственным вариантом доказательства первого случая теоремы Ферма. Теорема. Для нерегулярного простого числа р справедлив первый случай теоремы Ферма •приусловии, что h2 p О modp. Однако здесь оно не приводится. Итак, доказаны теоремы (2.1) => (2.0); (1.1) (1.0) и вместе с ними доказана великая теорема Ферма.