Существует достаточно много доказательств следующего факта: 0.(9) = 1, и почти все их них достаточно просты и понятны, но, как мне кажется, не очень подкованные в математике люди могут усомниться в их достоверности из-за того, что они не очень интуитивны: то возникают там какие-то пределы, то умножение периодических дробей (я понимаю, откуда что берется, и почему все верно работает, но если не разобраться, то может казаться сомнительным). По моему мнению, мое доказательство лишено какой-то практической пользы этого недостатка, поэтому я решил написать о нем. Сначала я напишу интуитивное доказательство рассматриваемого факта, а после предоставлю строгое обоснование его.

И так, интуитивное доказательство. Давайте будем рассматривать, чему равно 0.(9) с точностью до ε (напомню, что это означает, что наш ответ должен отличаться не более чем на ε от правильного), и, постепенно увеличивая точность, будем стремить ε к нулю. При ε = 0.1: 0.(9) <= 1.0(9) с точностью до ε, при ε = 0.01: 0.(9) <= 1.00(9), при ε = 0.0000001: 0.(9) <= 1.0000000(9) (операция сложения периодической дроби и дроби, в десятичной записи которой конечное число цифр, определена нормально, т. к. при таком сложении мы работаем не с бесконечностями, а с обычным сложением конечного числа цифр). Таким образом, понятно, что верхняя граница 0.(9) при улучшения точности не опускается ниже 1, а точнее при стремлении ε к 0 верхняя граница стремиться к 1 СВЕРХУ. Еще раз, при ЛЮБОЙ точности ε: 0.(9) >= 1, а при максимальной точности ε = 0 видно, что 0.(9) превращается в ровно единицу, что и говорит нам, что 0.(9) = 1.

Давайте формализуем и докажем это “ видно ” (довольно скучная и очевидная часть, так что, если понятно, то можно не читать): докажем, что предел функции 0.(9) + x (x принадлежит (0, +∞)), при x стремящимся к нулю, равен 1 через определение предела функции в точке по Коши (ОПРЕДЕЛЕНИЕ: пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0. Говорят, что предел функции f(x) в точке x=x0 равен числу b, если для всякого ε>0 найдётся такое δ>0, что для всех x из проколотой δ-окрестности точки x0 значения функции лежат в ε-окрестности точки b). Явно предъявим для каждого ε свою δ-окрестность. Для этого необходимо понимание, что наша функция строго возрастающая, т. е. (x1 < x2) => (f(x1) < f(x2)), и все ее значения при x > 0 точно больше (или равны) 1. Получаем, что для δ = (ε : 10) и всех значений из проколотой δ-окрестности (все ее x-ы принадлежат (0, δ]) <= f(δ) < 0.(9) + ε (δ < ε также здесь я принимаю за истину без доказательства, что 0.(9) <= 1), а значит принадлежат ε-окрестности единицы. Значит для любого ε найдется нужная δ, а значит выполнено определение, значит предел доказан.