t = int(input())

for i in range(t):
    n, m, k = map(int, input().split())
    d = n // k
    a1 = min(m, d)
    a2 = (m - a1 + k - 2) // (k - 1)
    print(a1 - a2)

t = int(input())

for i in range(t):
    n, m, k = map(int, input().split())
    ans = 0
    d = n // k
    for a1 in range(m + 1):
        for a2 in range(a1 + 1):
            if(a1 > d):
                continue
            if(a1 + a2 > m):
                continue
            if(a1 + (k - 1) * a2 < m):
                continue
            ans = max(ans, a1 - a2)
    print(ans)

t = int(input())
for _ in range(t):
	n, m, x, y = map(int, input().split())
	ans = 0
	y = min(y, 2 * x)
	for __ in range(n):
		s = input()
		i = 0
		while i < m:
			if s[i] == '*':
				i += 1
				continue
			j = i
			while j + 1 < m and s[j + 1] == '.':
				j += 1
			l = j - i + 1
			ans += l % 2 * x + l // 2 * y
			i = j + 1
	print(ans)

Рассмотрим два типа остановок: $$$k$$$ горячих и $$$k$$$ холодных кружек и $$$(k + 1)$$$ горячая и $$$k$$$ холодных кружек.

Первый случай тривиален: температура всегда равна $$$\frac{h + c}{2}$$$. Во втором случае температура всегда строго выше, чем $$$\frac{h + c}{2}$$$. Поэтому, если $$$t \le \frac{h + c}{2}$$$, то ответ всегда $$$2$$$.

Покажем, что в противном случае ответ всегда достигается из второго случая:

Температура после $$$(k + 1)$$$ горячей кружки и $$$k$$$ холодных кружек $$$t_k = \frac{(k + 1) \cdot h + k \cdot c}{2k + 1}$$$. Утверждается, что $$$t_0 > t_1 > \dots$$$. Докажем это по индукции.

Также стоит показать, что этот ряд сходится к $$$\frac{h + c}{2}$$$:

Так что это утверждение показывает нам, что для любого $$$t$$$, больше чем $$$\frac{h + c}{2}$$$, ответ всегда достигается из второго случая.

Это позволяет нам найти такое $$$k$$$, что значение $$$t_k$$$ ровно $$$t$$$. Однако, $$$k$$$ не всегда оказывается целым числом. $$$\frac{(k + 1) \cdot h + c}{2k + 1} = t \leftrightarrow$$$ $$$\frac{k \cdot (h + c) + h}{2k + 1} = t \leftrightarrow$$$ $$$k \cdot (h + c) + h = 2kt + t \leftrightarrow$$$ $$$k \cdot (h + c - 2t) = t - h \leftrightarrow$$$ $$$k = \frac{t - h}{h + c - 2t}$$$.

Остается только понять, в какую сторону выгоднее округлять $$$k$$$. Кажется, что некоторые реализации с вещественными числами могут не работать из-за погрешностей вычислений. Однако, можно все целиком провести в целых числах.

Перепишем это выражение, чтобы знаменатель был всегда положительным $$$k = \frac{h - t}{2t - h - c}$$$. Теперь округлим это значение вниз и сравним $$$k$$$ и $$$k + 1$$$.

Оптимальное значение достигается при $$$k$$$, если $$$|\frac{k \cdot (h + c) + h}{2k + 1} - t| \le |\frac{(k + 1) \cdot (h + c) + h}{2k + 3}| - t$$$. Так что $$$|(k \cdot (h + c) + h) - t \cdot (2k + 1)| \cdot (2k + 3) \le |((k + 1) \cdot (h + c) + h) - t \cdot (2k + 3)| \cdot (2k + 1)$$$. Иначе ответ $$$k + 1$$$.

Оптимальное значение $$$k$$$ можно также найти бинарным поиском, но формулы получаются такие же, и все равно приходится опираться на монотонность. К тому же формулы помогают определить верхнюю границу на ответ.

Асимптотика решения: $$$O(1)$$$ или $$$O(\log h)$$$ на набор входных данных.

#include <bits/stdc++.h>

#define forn(i, n) for (int i = 0; i < int(n); i++)

using namespace std;


int main() {
	int tc;
	scanf("%d", &tc);
	forn(_, tc){
		int h, c, t;
		scanf("%d%d%d", &h, &c, &t);
		if (h + c - 2 * t >= 0)
			puts("2");
		else{
			int a = h - t;
			int b = 2 * t - c - h;
			int k = 2 * (a / b) + 1;
			long long val1 = abs(k / 2 * 1ll * c + (k + 1) / 2 * 1ll * h - t * 1ll * k);
			long long val2 = abs((k + 2) / 2 * 1ll * c + (k + 3) / 2 * 1ll * h - t * 1ll * (k + 2));
			printf("%d\n", val1 * (k + 2) <= val2 * k ? k : k + 2);
		}
	}
	return 0;
}

#include <bits/stdc++.h>

#define forn(i, n) for (int i = 0; i < int(n); i++)

using namespace std;

const int INF = 1e9;

int main() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	vector<int> a(n);
	forn(i, n) scanf("%d", &a[i]);
	long long ans = 0;
	forn(mx, 31){
		long long cur = 0;
		long long best = 0;
		forn(i, n){
			int val = (a[i] > mx ? -INF : a[i]);
			cur += val;
			best = min(best, cur);
			ans = max(ans, (cur - best) - mx);
		}
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 500043;
const int MOD = 998244353;

int fact[N];

int add(int x, int y)
{
	x += y;
	while(x >= MOD) x -= MOD;
	while(x < 0) x += MOD;
	return x;
}

int mul(int x, int y)
{
	return (x * 1ll * y) % MOD;
}

int binpow(int x, int y)
{
	int z = 1;
	while(y > 0)
	{
		if(y % 2 == 1)
			z = mul(z, x);
		x = mul(x, x);
		y /= 2;
	}
	return z;
}

int inv(int x)
{
	return binpow(x, MOD - 2);
}

int divide(int x, int y)
{
	return mul(x, inv(y));
}

void precalc()
{
	fact[0] = 1;
	for(int i = 1; i < N; i++)
		fact[i] = mul(i, fact[i - 1]);
}

int C(int n, int k)
{
	if(k > n) return 0;
	return divide(fact[n], mul(fact[n - k], fact[k]));
}

int main()
{
	int n, k;
	cin >> n >> k;
	int ans = 0;
	precalc();
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		int d = n / i;
		ans = add(ans, C(d - 1, k - 1));
	}
	cout << ans << endl;
}

#include <bits/stdc++.h>

#define forn(i, n) for (int i = 0; i < int(n); i++)
#define x first
#define y second

using namespace std;

const double INF = 1e13;

struct line{
	int A, B, C;
	line(){}
	line(int x1, int y1, int x2, int y2){
		A = y1 - y2;
		B = x2 - x1;
		C = -A * x1 - B * y1;
		// A is guaranteed to be non-zero
		if (A < 0) A = -A, B = -B, C = -C;
		int g = __gcd(A, __gcd(abs(B), abs(C)));
		A /= g, B /= g, C /= g;
	}
};

bool operator ==(const line &a, const line &b){
	return a.A == b.A && a.B == b.B && a.C == b.C;
}

double x;

bool operator <(const line &a, const line &b){
	double val1 = (-a.A * x - a.C) / a.B;
	double val2 = (-b.A * x - b.C) / b.B;
	return val1 < val2;
}

struct car{
	int x, y, dx, dy, s;
	line l;
	double vx, vy;
};

int n;
vector<car> a(n);

long long det(int a, int b, int c, int d){
	return a * 1ll * d - b * 1ll * c;
}

bool inter(const line &a, const line &b, long long &D, long long &Dx, long long &Dy){
	D = det(a.A, a.B, b.A, b.B);
	if (D == 0) return false;
	Dx = -det(a.C, a.B, b.C, b.B);
	Dy = -det(a.A, a.C, b.A, b.C);
	return true;
}

int sg(int x){
	return x < 0 ? -1 : 1;
}

int sg(long long a, long long b, int c){
	// sign of a/b-c
	if (b < 0) a = -a, b = -b;
	return a - c * b < 0 ? -1 : (a - c * b > 0);
}

bool inter(int i, int j, double &len){
	if (i == -1 || j == -1)
		return false;
	long long D, Dx, Dy;
	if (!inter(a[i].l, a[j].l, D, Dx, Dy))
		return false;
	if (sg(Dx, D, a[i].x) != 0 && sg(a[i].dx) != sg(Dx, D, a[i].x))
		return false;
	if (sg(Dx, D, a[j].x) != 0 && sg(a[j].dx) != sg(Dx, D, a[j].x))
		return false;
	double x = Dx / double(D);
	double y = Dy / double(D);
	double di = (a[i].x - x) * (a[i].x - x) + (a[i].y - y) * (a[i].y - y);
	double dj = (a[j].x - x) * (a[j].x - x) + (a[j].y - y) * (a[j].y - y);
	return len * len >= di / a[i].s && len * len >= dj / a[j].s;
}

vector<set<pair<line, int>>::iterator> del;
set<pair<line, int>> q;

void get_neighbours(int i, int &l, int &r){
	l = r = -1;
	auto it = q.lower_bound({a[i].l, -1});
	if (it != q.end())
		r = it->y;
	if (!q.empty() && it != q.begin()){
		--it;
		l = it->y;
	}
}

bool check(double t){
	vector<pair<double, pair<int, int>>> cur;
	del.resize(n);
	forn(i, n){
		double x1 = a[i].x;
		double x2 = a[i].x + a[i].vx * t;
		if (x1 > x2) swap(x1, x2);
		cur.push_back({x1, {i, 0}});
		cur.push_back({x2, {i, 1}});
	}
	q.clear();
	
	sort(cur.begin(), cur.end());
	for (auto &qr : cur){		
		x = qr.x;
		int i = qr.y.x;
		int l, r;
		
		if (qr.y.y == 0){
			get_neighbours(i, l, r);
			
			if (r != -1 && a[i].l == a[r].l)
				return true;
			if (inter(i, l, t))
				return true;
			if (inter(i, r, t))
				return true;
			
			del[i] = q.insert({a[i].l, i}).x;
		}
		else{			
			q.erase(del[i]);
			get_neighbours(i, l, r);
			
			if (inter(l, r, t))
				return true;
		}
	}
	return false;
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	a.resize(n);
	forn(i, n){
		scanf("%d%d%d%d%d", &a[i].x, &a[i].y, &a[i].dx, &a[i].dy, &a[i].s);
		a[i].l = line(a[i].x, a[i].y, a[i].x + a[i].dx, a[i].y + a[i].dy);
		double d = sqrt(a[i].dx * a[i].dx + a[i].dy * a[i].dy);
		a[i].vx = a[i].dx / d * a[i].s;
		a[i].vy = a[i].dy / d * a[i].s;
		a[i].s *= a[i].s;
	}
	double l = 0, r = INF;
	bool ok = false;
	forn(_, 100){
		double m = (l + r) / 2;
		if (check(m)){
			ok = true;
			r = m;
		}
		else{
			l = m;
		}
	}
	if (!ok)
		puts("No show :(");
	else
		printf("%.15lf\n", l);
	return 0;
}