То, что Вы заранее делаете dp[arr[i]] = 1 — это значит, что можно в самом начале взять один предмет, но он никуда не денется из набора доступных предметов, и его можно будет взять потом еще раз.

Я бы Вам посоветовал вначале написать двумерную динамику: dp[i][j] — наименьшее количество предметов, которое нужно взять для того, чтобы собрать сумму j, при этом можно брать только первые i предметов. Как ни странно, то, что Вы пишете — это попытка оптимизировать потребление памяти в этой самой динамике, только вот делаете Вы это неправильно.

Если сделаешь тест

1 4    
2   

то твой код выведет ответ 2 вместо 0, как и говорил AlexanderBolshakov
Правильно будет вот так

    for(int i=0; i<n; ++i)
    {
        for(int j=sum; j>0; --j)
        {
            if(res[j])
            {
                if(res[j+arr[i]])
                {
                    res[j+arr[i]] = min(res[j+arr[i]], 1+res[j]);//если до этого res[a[i]] был всегда 1, то теперь не всегда так будет
                }
                else
                {
                    res[j+arr[i]] = res[j] + 1;//тут тоже))
                }
            }
        }
        res[arr[i]]=1; // если написать тут то он не будет 2 раза считать один и тот же элемент
    }

Не зря же ты новичок а я специалист))))