Пусть изначально мы имеем какой-то вектор $$$P(p_x,p_y)$$$ и прямую, которая задаётся каноническим уравнением прямой — $$$Ax+By+C = 0$$$, $$$L(A,B,C)$$$. Мы хотим получить такое уравнение прямой, которое соответствовало бы изначальной прямой со смещёнными точками на вектор $$$P$$$.

Для данной прямой должно выполняться равенство $$$A(x+p_x)+B(y+p_y)+C=0$$$, давайте раскроем скобки $$$Ax+By+(C+A\cdot p_x+B\cdot p_y)=0$$$, получаем новую прямую с коэффициентами $$$(A,B,C+A\cdot p_x+B\cdot p_y)$$$, либо $$$(A,B,C_2)$$$.

Но тут мы получаем небольшое противоречие, вспомним, что при параллельном переносе двух объектов расстояния между ними сохраняется, поэтому давайте вместе с прямой сместим на этот вектор какую-нибудь точку, например $$$p_0(-p_x,-p_y)$$$. После переноса наша p0 будет иметь координаты $$$(0,0)$$$.Нормируем вектор $$$(A,B)$$$ нашей прямой(поделим все коэффициенты на $$$\sqrt{A^2+B^2}$$$, чтобы $$$A^2+B^2$$$ было равно $$$1$$$).

Расстояние до переноса было $$$|-A\cdot p_x-B\cdot p_y+C|$$$, после переноса станет $$$|C_2|$$$, зная, что они равны приравняем их: $$$|-A\cdot p_x-B\cdot p_y+C|=|C_2|$$$. Давайте выразим $$$C_2-С$$$, есть $$$2$$$ варианта раскрытия модулей, $$$С2-С = -A\cdot p_x-B\cdot p_y,C_2-C = A\cdot p_x+B\cdot p_y-2\cdot C$$$, в первом случае мы прибавляем противоположный вектор $$$(-p_x,-p_y)$$$, во втором происходит тоже самое, только с заменой знака $$$C$$$.

Объясните пожалуйста глупой девочке, почему так получается, и что стоит прибавлять к коэффициенту $$$C$$$ в данном случае(по тестам $$$(-p_x,-p_y)$$$). Не минусите сильно, плиз $$$><$$$ Я же техала, я старалась, чтобы ваши глазки не так сильно болели с: