632A - Grandma Laura and Apples
Задача предложена пользователем unprost.
Рассмотрим на процесс с конца. Последний покупатель всегда покупает половину яблока и половину получает бесплатно (поэтому последняя строка на самом деле всегда равна halfplus). Далее каждый покупатель удваивает текущее количество яблок и возможно прибавляет к нему единицу. Таким образом, нам просто задано бинарное представление числа записанное с конца. Для подсчёта ответа нужно просто с конца восстанавливать количество яблок попутно, вычисляя сумму денег.
С++ solution by me.
С++ solution by unprost.
Сложность: O(p).
632B - Alice, Bob, Two Teams
Задача предложена пользователем Lewin Gan Lewin.
Посчитаем частичные суммы на префиксах отдельно для всех чисел (в массиве s1) и отдельно для чисел напротив, которых стоит буква B (в массиве s2). Теперь мы можем за O(1) вычислять сумму на любом подотрезке, а также сумму на любом отрезке по числам напротив буквы B.
Переберем теперь префикс или суффикс и посчитаем сумму в случае его изменения по формуле: sum(s1, 0, n - 1) + sum(s2, 0, i) - 2·sum(s1, 0, i) для префикса и sum(s1, 0, n - 1) + sum(s2, i, n - 1) - 2·sum(s1, i, n - 1) для суффикса.
C++ solution by me.
Python solution by Lewin.
Сложность: O(n).
632C - The Smallest String Concatenation
Задача предложена пользователем Lewin Gan Lewin. Доказательство транзитивности также принадлежит ему.
Отсортируем все строки по компаратору a + b < b + a и сконкатенируем их в получившемся порядке. Докажем, что ответ оптимальный. Пусть эта операция транзитивна (то есть из 
). Рассмотрим оптимальный ответ в котором есть пара строк, находящихся по этому отношению в обратном порядке. Поскольку это отношение транзитивно, то без потери общности можно считать, что это пара соседних строк. Но тогда мы их можем просто поменять местами и улучшить ответ.
Докажем транзитивность отношения. Будем смотреть на эти строки как на числа в 26-ной системе счисления. Тогда отношения a + b < b + a эквивалентно 
. Последнее есть просто отношение для действительных чисел. Таким образом, мы доказали транзитивность отношения a + b < b + a.
C++ solution by me.
Python solution by Lewin.
P.S.: Удивительно но в этой задаче решение на Python работает более чем в 5 раз быстрее решения на С++. Если кто-нибудь понимает почему, пожалуйста поделитесь очень интересно.
Сложность: O(nLlogn), где L — наибольшая длина строки.
632D - Longest Subsequence
Задачу предложил Денис Безруков pitfall.
Пусть cntx количество повторений числа x в заданном массиве (понятно, что числа большие m можно не рассматривать). Переберём 
и 1 ≤ k, x·k ≤ m и увеличим значение в позиции k·x в некотором массиве z на величину cntx. Таким образом, значение zl равно количеству чисел в исходном массиве делящих l. Найдём минимальное l с максимальным значением zl (1 ≤ l ≤ m). Легко видеть, что ответом на задачу будут числа делящие l.
Оценим время работы решения. Количество пар (k, x) можно сверху оценить как 
.
C++ solution by me.
Java solution by pitfall.
Сложность: O(n + mlogm).
632E - Thief in a Shop
Задачу предложил Алексей Чесноков CleRIC.
Пусть k = 2, тогда это стандартная задача которая может быть решена с помощью БПФ (быстрого преобразования Фурье). А решается она следующим образом: рассмотрим многочлен в которого коэффициент при i-й степени равен единице если и только если в заданном массиве есть число i. Возведём этот многочлен в квадрат, тогда те i коэффициент при которых в квадрате не равен 0 будут находиться в ответе. Легко обобщить это решение на случай произвольного k. Нужно просто исходный многочлен возвести в k-ю степень. Это, конечно, нужно сделать с помощью бинарного возведения в степень. Сложность получается O(WlogWlogk), где W — максимальная сумма.
Заметим, что это решение можно улучшить. Зачем возводить в степень многочлен, когда можно возводить в степень его образ (то есть его ДПФ)? Единственное, что нас может остановить это то, что в случае комплексного БПФ будут получаться очень большие числа (порядка 1000-х степеней) и соответственно никакие вещественные типа нас не спасут). Но это можно сделать в целых числах используя теоретикочисловое преобразование Фурье (ТПФ). У этого решения есть проблема, что при преобразовании (прямом или обратном) какие-то коэффициенты могут случайно обнулиться по модулю простого из ТПФ, но на самом деле коэффициент не ноль. Это можно обойти случайным выбором простого (а лучше двух или трёх), чтобы никто не мог взломать решение. Таким образом, получаем сложность O(W(logW + logk)).
Основное авторское решение было со сложностью O(WlogWlogk) с комплексным Фурье, второе с той же сложностью но по модулю, третье было с улучшенной асимптотикой (некоторые участники тоже это сдали можете попробовать взломать их, они вроде не выбирали модуль случайным образом).
С++ solution, complex FFT by me.
С++ solution, NTT by me.
С++ solution, improved NTT by me.
С++ solution by CleRIC.
P.S.: Чтобы решение было быстрым нужно каждый раз умножать многочлены нужной степени, а не степени 220.
Сложность: O(WlogWlogk) или O(W(logW + logk)), в зависимости от смелости кодера :-)
