Всем привет! Как вы уже, наверно, знаете (если не знаете — то советую узнать), в двумерной геометрии весьма удобно использовать комплексные числа для задания точек и вращений. Сейчас я хочу рассказать вам о похожей конструкции, которая позволяет эффективно работать с трёхмерным пространством.
Итак, кватернион — это гиперкомплексное число, которое может быть представлено в виде , где — действительные числа, а — мнимые единицы. На кватернионах может быть введена операция умножения, которая задана тождеством . Из этого тождества может быть выведена вся таблица умножения кватернионных единиц:
Отметим, что заданное таким образом кватернионное умножение обладает свойствами ассоциативности и дистрибутивности относительно сложения, в чём при желании можно убедиться, но не является коммутативным.
Четвёрку можно рассматривать как ортонормированный базис в четырёхмерном линейном пространстве, а кватернионы представлять в виде , где — вектор трёхмерного линейного пространства с базисом . Пусть у нас есть кватернионы и . Тогда их произведение можно посчитать как . Рассмотрим подробнее умножение двух чисто векторных кватернионов.
(x1i + y1j + z1k)(x2i + y2j + z2k) = - (x1x2 + y1y2 + z1z2) + i(y1z2 - z1y2) + j(z1x2 - x1z2) + k(x1y2 - y1x2).
Заметим, что это можно кратко переписать как , где и — соответственно векторное и скалярное произведения векторов и . Таким образом, окончательно получаем формулу для произведения кватернионов .
Наконец, обратим внимание, что кватернион может также быть задан в виде , где — комплексные числа. В таком случае произведение кватернионов и может быть записано как , где — сопряжённое к комплексное число.
Покажем, что любой ненулевой кватернион обратим. Действительно, по аналогии с комплексными числами можно рассмотреть для кватерниона кватернион , который назовём сопряжённым к нему. Из выведенной выше формулы можно видеть, что . Таким образом, мы можем ввести для кватернионов норму и обратный элемент .