Всем привет! Как вы уже, наверно, знаете (если не знаете — то советую узнать), в двумерной геометрии весьма удобно использовать комплексные числа для задания точек и вращений. Сейчас я хочу рассказать вам о похожей конструкции, которая позволяет эффективно работать с трёхмерным пространством. Базовые познания в аналитической геометрии желательны.

Итак, кватернион — это гиперкомплексное число, которое может быть представлено в виде , где — действительные числа, а — мнимые единицы. На кватернионах может быть введена операция умножения, которая задана тождеством . Из этого тождества может быть выведена вся таблица умножения кватернионных единиц:

Отметим, что заданное таким образом кватернионное умножение обладает свойствами ассоциативности и дистрибутивности относительно сложения, в чём при желании можно убедиться, но не является коммутативным.

Четвёрку можно рассматривать как ортонормированный базис в четырёхмерном линейном пространстве, а кватернионы представлять в виде , где — вектор трёхмерного линейного пространства с базисом . Компоненты и называются соответственно скалярной и векторной составляющими кватерниона. Пусть у нас есть кватернионы и . Тогда их произведение можно посчитать как . Рассмотрим подробнее умножение двух чисто векторных кватернионов.

(x₁i + y₁j + z₁k)(x₂i + y₂j + z₂k) =  - (x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂) + i(y₁z₂ - z₁y₂) + j(z₁x₂ - x₁z₂) + k(x₁y₂ - y₁x₂).

Заметим, что это можно кратко переписать как , где и — соответственно векторное и скалярное произведения векторов и . Таким образом, окончательно получаем формулу для произведения кватернионов .

Наконец, обратим внимание, что кватернион может также быть задан в виде , где — комплексные числа. В таком случае произведение кватернионов и может быть записано как , где — сопряжённое к комплексное число.

Покажем, что любой ненулевой кватернион обратим. Действительно, по аналогии с комплексными числами можно рассмотреть для кватерниона кватернион , который назовём сопряжённым к нему. Из выведенной выше формулы можно видеть, что . Таким образом, мы можем ввести для кватернионов норму и обратный элемент . Обратим внимание на то, что . Действительно, из формулы умножения прямо следует . Отсюда сразу следует, что и .

Здесь и далее будем считать векторы кватернионами с нулевой скалярной частью. Введём операцию сопряжения вектора a кватернионом g, результатом которой является вектор^[1] . Это равенство эквивалентно тому, что . Пусть , тогда, расписывая, получаем . Рассматривая отдельно скалярные и векторные части, получаем:

Обратим внимание, что в силу мультипликативности нормы кватернионов, нормы векторов и равны. Первое уравнение системы означает, что равны также их ортогональные проекции на ось . Отсюда необходимо следует, что получается из поворотом вокруг на некоторый угол. Найдём его.

Будем считать, что . Если это не так, отнормируем , поделив его на квадратный корень из нормы, на векторе это не отразится. Теперь мы можем считать, что , где . Также пользуясь первым уравнением и вводя обозначение и подобное для для ортогональных составляющих, мы можем преобразовать второе уравнение следующим образом: . Оно примечательно тем, что составлено для проекций векторов и на плоскость, в которой происходит вращение. Нам остаётся лишь заметить, что — это вектор , повернутый на вокруг вектора по часовой стрелке. Таким образом, первое равенство задаёт вектор , повернутый вокруг по часовой стрелке, а второе — вектор , повернутый вокруг против часовой стрелки. Отсюда окончательно получаем, что вектор является повернутым вокруг вектора против часовой стрелки на угол 2φ вектором .

[1] . Скалярная часть этого произведения равна .